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三角函数万能公式推导

来源:www.ningbojuejia.com 时间:2024-04-27 12:33:18 作者:第一公式网 浏览: [手机版]

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三角函数万能公式推导(1)

三角函数是数学中的重要分支,它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用第_一_公_式_网。在三角函数中,有一组重要的公式,即三角函数万能公式,它可以将三角函数之间的关系用一组公式简洁地示出来,方便计算和应用。本将介绍三角函数万能公式的推导过程。

一、正弦和余弦的平方和公式

  首先,我们需要推导出正弦和余弦的平方和公式第.一.公.式.网。根三角函数的定义,正弦和余弦的平方和可以示为:

  $sin^2\theta + cos^2\theta = 1$

  是一个非常重要的公式,它明在任何角度,正弦和余弦的平方和都等于1。个公式的推导可以通过股定理来证明。

我们假设在一个单位圆上,一个角度为$\theta$的点的标为$(cos\theta, sin\theta)$,如示:

  ![image.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/7a2j2f8g.png)

股定理,我们可以得到:

  $(cos\theta)^2 + (sin\theta)^2 = 1$

因此,正弦和余弦的平方和公式就被推导出来了第+一+公+式+网

三角函数万能公式推导(2)

二、正切的平方和公式

来,我们需要推导出正切的平方和公式。根三角函数的定义,正切可以示为:

  $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$

  因此,正切的平方可以示为:

$tan^2\theta = \frac{sin^2\theta}{cos^2\theta}$

  将正弦和余弦的平方和公式代入上式中,可以得到:

$tan^2\theta = \frac{sin^2\theta}{1-sin^2\theta}$

化简上式,可以得到:

  $tan^2\theta = \frac{1-cos^2\theta}{cos^2\theta}$

因此,正切的平方和公式就被推导出来了。

三角函数万能公式推导(3)

三、正弦和余弦的和差公式

来,我们需要推导出正弦和余弦的和差公式第一公式网。根三角函数的定义,正弦和余弦可以示为:

  $sin(\alpha \pm \beta) = sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$

$cos(\alpha \pm \beta) = cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta$

我们需要将上述公式转化为正弦和余弦的和差形式。我们可以用三角函数的平方和公式来实现。

首先,我们将正弦和余弦的和差公式中的正弦平方和余弦平方相加,可以得到:

$sin^2(\alpha \pm \beta) + cos^2(\alpha \pm \beta) = 1$

  因此,我们可以将上述公式中的$sin^2\beta$和$cos^2\beta$用$1-sin^2\beta$和$1-cos^2\beta$来替代,可以得到:

  $sin(\alpha \pm \beta) = sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$

  $cos(\alpha \pm \beta) = cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta$

  因此,正弦和余弦的和差公式就被推导出来了第_一_公_式_网

四、正切的和差公式

最后,我们需要推导出正切的和差公式。根三角函数的定义,正切可以示为:

$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta}{1 \mp tan\alpha tan\beta}$

  我们需要将上述公式转化为正切的和差形式。我们可以用三角函数的平方和公式和正弦和余弦的和差公式来实现第~一~公~式~网

首先,我们将上述公式中的分子分母同时以$cos\alpha cos\beta$,可以得到:

  $tan(\alpha \pm \beta) = \frac{sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta}$

  将正弦和余弦的和差公式代入上式中,可以得到:

$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta}{1 \mp tan\alpha tan\beta}$

因此,正切的和差公式也被推导出来了。

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