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两角和与差的三角函数公式推导

来源:www.ningbojuejia.com 时间:2024-04-26 12:26:36 作者:第一公式网 浏览: [手机版]

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两角和与差的三角函数公式推导(1)

  三角函数是数学中的重要之一,它们在个领域都有着广泛的应用欢迎www.ningbojuejia.com。其中,两角和与差的三角函数公式是我们学习三角函数时必须掌握的内容之一。本文将从两角和与差的概念入手,推导它们的三角函数公式。

一、两角和的概念

  两角和指的是两个角的和,例如:$sin(a+b)$,其中 $a$ 和 $b$ 是两个角来自www.ningbojuejia.com。我们可通过绘制一个单位圆来理解两角和的概念。

  如图所示,我们将角 $a$ 和角 $b$ 别绘制在单位圆上。由于单位圆的半径 $1$,因此点 $A$ 和点 $B$ 的坐 $(cos a, sin a)$ 和 $(cos b, sin b)$第.一.公.式.网。接下来,我们将点 $A$ 沿着单位圆逆时针旋转 $b$ 角,得到点 $C$ 的坐 $(cos(a+b), sin(a+b))$。

因此,$sin(a+b)$ 就是点 $C$ 的纵坐,即:

$$

  sin(a+b) = sin a \cdot cos b + cos a \cdot sin b

  $$

同理,我们可得到 $cos(a+b)$ 的公式:

  $$

  cos(a+b) = cos a \cdot cos b - sin a \cdot sin b

$$

二、两角差的概念

  两角差指的是两个角的差,例如:$sin(a-b)$,其中 $a$ 和 $b$ 是两个角。同样地,我们可通过绘制一个单位圆来理解两角差的概念来源www.ningbojuejia.com

如图所示,我们将角 $a$ 和角 $b$ 别绘制在单位圆上。由于单位圆的半径 $1$,因此点 $A$ 和点 $B$ 的坐 $(cos a, sin a)$ 和 $(cos b, sin b)$。接下来,我们将点 $B$ 沿着单位圆逆时针旋转 $a$ 角,得到点 $C$ 的坐 $(cos(a-b), sin(a-b))$www.ningbojuejia.com

  因此,$sin(a-b)$ 就是点 $C$ 的纵坐,即:

$$

sin(a-b) = sin a \cdot cos b - cos a \cdot sin b

  $$

  同理,我们可得到 $cos(a-b)$ 的公式:

  $$

  cos(a-b) = cos a \cdot cos b + sin a \cdot sin b

  $$

两角和与差的三角函数公式推导(2)

三、两角和与差的三角函数公式的推导

  我们已经得到了两角和和两角差的公式,接下来我们将通过一简单的代数运算,推导两角和与差的三角函数公式。

  1. $sin(a+b) = sin a \cdot cos b + cos a \cdot sin b$

  将 $b$ 替换 $-b$,得到:

  $$

  sin(a-b) = sin a \cdot cos (-b) + cos a \cdot sin (-b)

$$

由于 $cos (-b) = cos b$,$sin (-b) = -sin b$,因此:

  $$

  sin(a-b) = sin a \cdot cos b - cos a \cdot sin b

  $$

将上面两个公式相加,得到:

$$

  sin(a+b) + sin(a-b) = 2sin a \cdot cos b

  $$

  因此,我们得到了两角和的 $sin$ 函数公式:

$$

  sin(a+b) = 2sin a \cdot cos b - sin(a-b)

$$

  2. $cos(a+b) = cos a \cdot cos b - sin a \cdot sin b$

  将 $b$ 替换 $-b$,得到:

$$

cos(a-b) = cos a \cdot cos (-b) + sin a \cdot sin (-b)

  $$

  由于 $cos (-b) = cos b$,$sin (-b) = -sin b$,因此:

  $$

cos(a-b) = cos a \cdot cos b + sin a \cdot sin b

  $$

  将上面两个公式相减,得到:

  $$

  cos(a+b) - cos(a-b) = -2sin a \cdot sin b

  $$

  因此,我们得到了两角和的 $cos$ 函数公式:

  $$

  cos(a+b) = cos a \cdot cos b - sin a \cdot sin b

  $$

  3. $tan(a+b)$ 的公式

  我们可将 $tan(a+b)$ 转化 $\frac{sin(a+b)}{cos(a+b)}$,然后代入上面的两角和公式,得到:

  $$

  tan(a+b) = \frac{2sin a \cdot cos b - sin(a-b)}{2cos a \cdot cos b - cos(a-b)}

$$

  4. $tan(a-b)$ 的公式

  同样地,我们可将 $tan(a-b)$ 转化 $\frac{sin(a-b)}{cos(a-b)}$,然后代入上面的两角差公式,得到:

  $$

  tan(a-b) = \frac{sin a \cdot cos b - 2sin b \cdot cos a}{cos a \cdot cos b + sin a \cdot sin b}

  $$

至此,我们已经推导了两角和与差的三角函数公式。这公式在数学和理等领域都有着广泛的应用,我们需要掌握它们的推导方法和使用技巧,才能更好地应用到实际问题中第一公式网www.ningbojuejia.com

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