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牛顿法公式推导:从数学到实践

来源:www.ningbojuejia.com 时间:2024-04-24 23:30:34 作者:第一公式网 浏览: [手机版]

牛顿法是一种求解非线性方程迭代方法,它以牛顿-莱布尼茨公式为基础,利用函数一阶导数和二阶导数信息来逼近函数零点www.ningbojuejia.com第一公式网。在实际应用中,牛顿法被广泛应用于优化、数值分析、物理建等领域,是一种非常有效算法。

  本将从数学角度出发,推导牛顿公式,结合实例进行说明,帮助读者更地理解该方法。

牛顿法公式推导:从数学到实践(1)

一、牛顿法基本思想

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有连续一阶和二阶导数,且 $f(x_0) = 0$。则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处泰勒展开式为:

  $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)$$

  其中 $o((x-x_0)^2)$ 表示当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时,$(x-x_0)^2$ 比其他高阶项更小第+一+公+式+网

由于 $f(x_0) = 0$,因此可以将上式简化为:

  $$f(x) = f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)$$

当 $f(x) = 0$ 时,有:

$$f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2) = 0$$

  忽高阶项,得到:

$$f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 = 0$$

  移项,得到:

  $$x = x_0 - \frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}$$

这就是牛顿法基本公式。将 $x_0$ 替换为 $x_1$,则有:

  $$x_1 = x_0 - \frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}$$

  依此推,可以得到牛顿法迭代公式:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$$

牛顿法公式推导:从数学到实践(2)

二、牛顿法实例

为了更地理解牛顿法,我们以求解方程 $x^3 - 2x - 5 = 0$ 为例,来示该方法具体过程。

  首先,我们需要求出 $f(x)$ 一阶和二阶导数:

$$f(x) = x^3 - 2x - 5$$

  $$f'(x) = 3x^2 - 2$$

$$f''(x) = 6x$$

  然后,我们需要选择一个初始值 $x_0$,作为牛顿法起点。在本例中,我们选择 $x_0 = 2$www.ningbojuejia.com第一公式网

来,依据牛顿法公式,可以得到:

  $$x_1 = x_0 - \frac{f'(x_0)}{f''(x_0)} = 2 - \frac{3\times 2^2 - 2}{6\times 2} = \frac{17}{12}$$

  $$x_2 = x_1 - \frac{f'(x_1)}{f''(x_1)} = \frac{17}{12} - \frac{3\times (\frac{17}{12})^2 - 2}{6\times \frac{17}{12}} = \frac{577}{408}$$

  $$x_3 = x_2 - \frac{f'(x_2)}{f''(x_2)} = \frac{577}{408} - \frac{3\times (\frac{577}{408})^2 - 2}{6\times \frac{577}{408}} = \frac{173631}{122472}$$

$$\cdots$$

不断迭代,直到满足一定精度要求或达到迭代次数限制为止。在本例中,我们可以设定精度要求为 $10^{-6}$,则迭代结为:

  $$x = 1.769292354238631$$

  可以验证,将 $x$ 代入方程 $x^3 - 2x - 5 = 0$ 中,得到非常接近于 $0$。

牛顿法公式推导:从数学到实践(3)

三、牛顿法收敛性分析

  牛顿法收敛性取决于初始点选择和函数性质。在一般情况,如初始点 $x_0$ 足够接近函数零点,且函数一阶和二阶导数连续且不为 $0$,则牛顿法是局部收敛第~一~公~式~网。具体来说,如 $x_n$ 收敛于 $x^*$,则 $f(x^*) = 0$,且有:

  $$\lim_{n\to\infty}\frac{|x_{n+1}-x^*|}{|x_n-x^*|^p} = C$$

其中 $p=2$,$C$ 是一个正常数。

  需要注意是,当 $f''(x^*)=0$ 时,牛顿法可能会失效。此时,可以使用改进牛顿法或其他方法。

四、总结

从数学角度出发,推导了牛顿法公式,结合实例进行了说明pGu。可以看出,牛顿法是一种非常有效求解非线性方程方法,但其收敛性和稳定性取决于初始点选择和函数性质。在实际应用中,需要根据具体情况选择合适算法,进行适当调整和优化。

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