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反三角函数的公式导数

来源:www.ningbojuejia.com 时间:2024-04-24 08:20:03 作者:第一公式网 浏览: [手机版]

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反三角函数的公式导数(1)

  反三角函数是数学中非常重的一类函数,它们的导数在微积中也有着广泛的应用第一公式网www.ningbojuejia.com。本文将介绍反三角函数的公式导数,并给出具的推导过程应用实例。

一、反三角函数的定义

  反三角函数是指将三角函数的输出值作为输入,求出相应的角的函数欢迎www.ningbojuejia.com。常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数反正切函数,别记作$\arcsin(x)$、$\arccos(x)$$\arctan(x)$。

反三角函数的公式导数(2)

二、反三角函数的导数公式

  1. 反正弦函数的导数公式

  反正弦函数的导数公式为:

  $$\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

推导过程如下:

  $y=\arcsin(x)$,则$x=\sin(y)$,两边求导得:

  $$\frac{dx}{dy}=\cos(y)$$

  由$\sin^2(y)+\cos^2(y)=1$,以$\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}=\sqrt{1-x^2}$,因此:

  $$\frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}$$

再根据链式法则可得:

  $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

因此,反正弦函数的导数公式为$\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ningbojuejia.com

  2. 反余弦函数的导数公式

  反余弦函数的导数公式为:

  $$\frac{d}{dx}\arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

  推导过程如下:

  $y=\arccos(x)$,则$x=\cos(y)$,两边求导得:

  $$\frac{dx}{dy}=-\sin(y)$$

$\sin^2(y)+\cos^2(y)=1$,以$\sin(y)=-\sqrt{1-\cos^2(y)}=-\sqrt{1-x^2}$,因此:

  $$\frac{dx}{dy}=-\sqrt{1-x^2}$$

再根据链式法则可得:

  $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

因此,反余弦函数的导数公式为$\frac{d}{dx}\arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

3. 反正切函数的导数公式

  反正切函数的导数公式为:

  $$\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

  推导过程如下:

  $y=\arctan(x)$,则$x=\tan(y)$,两边求导得:

  $$\frac{dx}{dy}=\sec^2(y)$$

  由$\sec^2(y)=1+\tan^2(y)=1+x^2$,因此:

  $$\frac{dx}{dy}=1+x^2$$

  再根据链式法则可得:

  $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{1+x^2}$$

  因此,反正切函数的导数公式为$\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$www.ningbojuejia.com

反三角函数的公式导数(3)

三、反三角函数导数公式的应用实例

反三角函数的导数公式在微积中有着广泛的应用,下面给出两个具的实例。

  1. 求反正弦函数的导数

  求$\frac{d}{dx}\arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$欢迎www.ningbojuejia.com

  解:根据链式法则,有:

$$\frac{d}{dx}\arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2}}\cdot\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$$

  化简得:

  $$\frac{d}{dx}\arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$$

  2. 求反正切函数的导数

求$\frac{d}{dx}\arctan(\frac{1}{x})$。

  解:根据链式法则,有:

$$\frac{d}{dx}\arctan(\frac{1}{x})=\frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2}\cdot(-\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{x^2+1}$$

四、总结

  本文介绍了反三角函数的定义导数公式,并给出了具的推导过程应用实例第~一~公~式~网。反三角函数在微积中有着广泛的应用,掌握其导数公式解决相关问题非常有帮助。

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